Variants of global Carleman weights in one-measurement inverse problems and fluid-structure controllability problems

We review some recent results on variants of global Carleman weights and Carleman inequalities applied to singular controllability and inverse problems partially developed in collaboration with the authors in a series of papers. First of all, we explain how we can modify weights to study one measurement inverse problems for the heat and wave equations with discontinuous coefficients in the principal part, in a case of locally supported boundary observations for recovering coefficients in the wave equation and we mention also some recent results for the Sch¨odinger equation. As another important application, we show how time-variable global Carleman weights are applied to study the null- controllability for a Navier-Stokes-rigid solid problem in moving domains

Some inverse and controllability problems (wave transmission and transport diffusion)

The object of this thesis is the study of inverse inequalities for some linear partial differential equations. In the first chapter we study the linear transport-diffusion equation with a diffusion coefficient given by a small positive parameter. We study the controllability for the transport equation and the convergence of the solutions of the transport-diffusion equation when the diffusion goes to zero. We deduce some bound for the cost of the approximate controllability for the transport diffusion equation when the diffusion goes to zero. In the second chapter we consider a transmission wave equation in two embedded domains in Rn, where the speed is a1 > 0 in the inner domain and a2 > 0 in the outer domain. We prove a global Carleman inequality for this problem under some convexity hypothesis for the inner domain, and assuming a2 < a1. As a consequence of this inequality, we obtain uniqueness and Lipschitz stability for the inverse problem of retrieving a stationary potential for the wave equation with Dirichlet data and discontinuous principal coefficient from a single time-dependent Neumann boundary measurement.L objet de cette thèse c est l étude de certains inégalités inverses pour les solutions des quelques équations en dérivées partielles linéaires. Dans le premier chapitre nous étudions les propriétés de contrôlabilité pour l équation de transport pure, aussi que propriétés de convergence des solutions de l équation de transport diffusion vers les solutions de l équation du transport quand le coefficient de diffusion tombe vers zéro. Nous en déduisons une borne pour la norme du contrôle approche quand la diffusion tombe vers zéro. Dans le deuxième chapitre nous considérons une équation de transmission des ondes dans deux domaines in Rn, avec vélocité a1 dans le domaine intérieure et a2 dans le domaine extérieure. Sous les hypothéses a2 < a1 et certain hypothéses de convexité pour le domaine intérieure, nous montrons une inégalité de Carleman pour les solutions de ce problème. En utilisant cette inégalité, nous obtenons la stabilité Lipschitz pour le problème inverse de déterminer le potentiel stationnaire dans l équation d ondes avec des données Dirichlet et coefficient principal discontinu, avec une mesure de la dérivé normale dans la frontière.VERSAILLES-BU Sciences et IUT (786462101) / SudocSudocFranceF